1 thg 10, 2011

Các bất đẳng thức hay 2

Bất đẳng thức cộng Chebyshev

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Trong toán học, Bất đẳng thức cộng Chebyshev, được đặt theo tên nhà toán học Pafnuty Chebyshev, được phát biểu rằng: Nếu cho

$a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n$

và

$b_1 \geq b_2 \geq \cdots \geq b_n,$

thì

${1\over n} \sum_{k=1}^n a_kb_k \geq \left({1\over n}\sum_{k=1}^n a_k\right)\left({1\over n}\sum_{k=1}^n b_k\right).$

Tương tự, nếu

$a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n$

và

$b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n,$

thì

${1\over n} \sum_{k=1}^n a_kb_k \leq \left({1\over n}\sum_{k=1}^n a_k\right)\left({1\over n}\sum_{k=1}^n b_k\right).$

Chứng minh

Bất đẳng thức cộng Chebyshev được chứng minh bằng cách dùng bất đẳng thức hoán vị.

Giả sử ta có hai chuỗi số được cho như sau

$a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n \,$

và

$b_1 \geq b_2 \geq \cdots \geq b_n. \,$

Vậy thì, theo bất đẳng thức hoán vị, ta có

$a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \,$

là giá trị lớn nhất có thể sắp xếp được từ hai chuỗi số trên.

$a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n \,$

$a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geq a_1 b_2 + a_2 b_3 + \cdots + a_n b_1 \,$

$a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geq a_1 b_3 + a_2 b_4 + \cdots + a_n b_2 \,$

$\vdots \,$

$a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geq a_1 b_n + a_2 b_1 + \cdots + a_n b_{n-1} \,$

Cộng vế theo vế, ta có:

$n (a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n) \geq (a_1 + \cdots + a_n) (b_1 + \cdots + b_n);$

chia cả hai vế cho

n 2

, ta nhận được:

$\frac {(a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n)} {n} \geq \frac {(a_1 + \cdots + a_n)}{n} \cdot \frac {(b_1 + \cdots + b_n)}{n}.$

(điều phải chứng minh)

Tham khảo

en:Chebyshev's sum inequality - Wikipedia tiếng Anh
Bất đẳng thức Holder
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Trong giải tích toán học, bất đẳng thức Holder, đặt theo tên của nhà toán học Đức Otto Hölder, là một bất đẳng thức cơ bản liên quan đến các không gian L^p: giả sử S là một không gian đo, với 1 ≤ p, q ≤ ∞ thỏa 1/p + 1/q = 1, đồng thời f thuộc L^p(S) và g thuộc L^q(S). Khi đó fgthuộc L¹(S) và

$\|fg\|_1 \le \|f\|_p \|g\|_q.$

Các số p và q nói trên được gọi là liên hợp Holder của lẫn nhau.

Bất đẳng thức Holder được dùng để chứng minh bất đẳng thức tam giác tổng quát trong không gian L^p, bất đẳng thức Minkowski và cũng dùng để chứng minh L^p là đối ngẫu với L^q.

Các trường hợp đặc biệt đáng chú ý
- Với p = q = 2 bất đẳng thức Holder trở thành bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.
- Trong trường hợp không gian Euclide, khi tập S là {1,...,n} với một độ đo kiểu đếm, chúng ta có kết quả là với mọi x, y trong Rⁿ (Cⁿ)
$\sum_{k=1}^n |x_k y_k| \leq \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^q \right)^{1/q}$
- Nếu S=N với một độ đo kiểu đếm, khi đó chúng ta có được bất đẳng thức Holder cho các dãy từ không gian lp
$\sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n \cdot y_n| \le \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n|^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |y_n|^q \right)^{1/q},\; \forall x \in l^p, y\in l^q$ .
- Trong trường hợp không gian của các hàm giá trị phức khả tích, chúng ta có
$\left|\int f(x)g(x)\,dx\right|\leq\left(\int \left|f(x)\right|^p\,dx \right)^{1/p}\cdot \left(\int\left|g(x)\right|^q\,dx\right)^{1/q}.$
- Trong trường hợp không gian xác suất $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ , $L^p(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ là các ký hiệu để chỉ không gian của các biến ngẫu nhiên vớimomentphữu hạn,
$\mathbb{E}\left[|X|^p\right] < \infty$ , trong đó $\mathbb{E}$ là ký hiệu chỉ giá trị kỳ vọng. Bất đẳng thức Holder trở thành

$\mathbb{E}|XY| \le \left(\mathbb{E}|X|^p\right)^{1/p} \cdot \left( \mathbb{E}|Y|^q \right)^{1/q},\; \forall X \in L^p, Y \in L^q$ .

Trường hợp tổng quát

Có thể chứng minh trường hợp tổng quát sau bằng phương pháp quy nạp

Giả sử $p_k\geq 1, k=1,\ldots n$ sao cho

$\sum_{k=1}^n \frac{1}{p_k}=1$

Giả sử $u_k\in L^{p_k}(S)$ . Khi đó ta có $\prod_{k=1}^n u_k \in L^1(S)$ và

$\left\|\prod_{k=1}^n u_k\right\|_{\displaystyle L^1(S)}\leq \prod_{k=1}^n \|u_k\|_{\displaystyle L^{p_k}(S)}$

See also
- A generalization of Holder's inequality

Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét

Văn hay vô đối

3 vị tướng người Nhật, Mĩ và Việt Nam thi xem quân đội của ai dũng cảm nhất.
Người Mĩ nói :
Bây giờ tôi cho 1 tiểu đội lính của mình vào một căn phòng. Sau khi tôi thả 1 sợi lông chạm đất thì 1 phút sau lính của tôi sẽ tự sát hết.
Quả đúng như vậy, sau khi vị tướng người Mĩ thả sợi lông xuống đất và đi ra khỏi phòng thì nghe thấy tiếng cầu kinh của binh sĩ Mĩ và một phút sau tất cả đều tự sát hết.
Đến lượt vị tướng người Nhật nói:
Cần gì phải 1 phút. Chỉ cần sợi lông chạm đất là lính của tôi sẽ tự sát hết.Khi ông ta thả sợi lông rồi vừa bước ra khỏi phòng thì đã nghe thấy tiếng súng nổ và tất cả đều đã chết.
Đến lượt Vị tướng Việt thì ông cũng làm như vậy và ba vị tướng ngồi chờ.
Nhưng chờ đến nửa tiếng mà vẫn chưa nghe tiếng súng nên hai vị tướng kia cười chế diễu vị tướng Việt . Nhưng rồi ông cười khẩy và dẫn hai vị tướng kia vào phòng.Hai vị tướng kia há hốc mồm kinh ngạc vì tất cả anh lính cụ Hồ đều đang nằm dưới sàn nhà.... thổi lông gà để không cho nó chạm đất.
------------------------------
Sau thành công của kỳ thi olimpic toán quốc tế. Nước chủ nhà Việt Nam lại tổ chức một cuộc hội thảo giáo dục, bao gồm những bộ trưởng bộ giáo dục các nước có nền giáo dục phát triển.
Hội nghị đang tranh cãi xem nước nào có nền giáo dục tốt nhất.
Nước Mỹ:
-Nước chúng tôi, tin học đóng vai trò hàng đầu, một đứa trẻ 3 tuổi có thể sử dụng thành thạo máy vi tính và internet.
Mọi người xôn xao về báo cáo này.
Trung Quốc:
- Thế đã là gì, ở TQ, có những thần đồng mới 9 tuổi đã có thể theo học chương trình đại học.
Cả hội nghĩ vỗ tay nhiệt liệt. Đến Việt Nam, đất nước chủ nhà, ai ai cũng hồi hộp trước bài phát biểu của ông bộ trưởng:
- Tất cả đều là tầm thường hết, ở Việt Nam chúng tôi, thậm chí có rất nhiều học sinh không biết đọc biết viết cũng tốt nghiệp cấp 2
-----------------------------
Câu hỏi đặt ra cho giải Nobel năm nay là:"Nếu bạn có 1 chiếc máy bay và 1 trái bom bạn sẽ làm gì?".
Mỹ ôm trái bom lên máy bay ném sang các nước hồi giáo.
Binladen: Đổ đầy nhiên liệu lái máy bay cùng bom + hành khách đâm vào nước Mỹ.
Việt Nam ôm đem cưa lấy thuốc nổ lấy sắt,máy bay đem cưa lấy nhôm......bán ve chai cái nào cũng kiếm đc tiền....Cuối cùng Việt Nam đc trao 2 giải Nobel về Kinh Tế và Hòa Bình ---> vinh dự khi là con dân VN
------------------------
Ba người bạn, Mỹ, Pháp và VN, ngồi uống cafe ở một quán Cafê nọ, hết đề tài để nói, bỗng một anh hỏi :
- Theo mấy anh định nghĩa thì thế nào là một NGƯỜI BÌNH TĨNH ?
Anh Mỹ lên tiếng: Tôi đi làm về, bước vào phòng ngủ, thấy vợ tôi đang nằm với một người đàn ông lạ. Tôi rút súng ra. NGƯỜI BÌNH TĨNH là tôi không bắn đôi gian phu dâm phụ đó.
Anh Pháp: Tôi đi làm về, bước vào phòng ngủ, thấy vợ tôi đang nằm với một người đàn ông lạ. Tôi rút súng ra. NGƯỜI BÌNH TĨNH là tôi không bắn đôi gian phu dâm phụ đó và nói, xin lỗi ông bà, ông bà cứ tiếp tục.
Anh người VN: "Theo tôi thì: Tôi đi làm về, bước vào phòng ngủ, thấy vợ tôi đang nằm với một người đàn ông lạ. Tôi rút súng ra, tôi không bắn đôi gian phu dâm phụ đó và nói, xin lổi ông bà, ông bà cứ tiếp tục. Mà cái thằng đó còn tiếp tục được thì NÓ mới là NGƯỜI BÌNH TĨNH
--------------------------

Cả thế giới đều phải kiêng nể người Mỹ vì người Mỹ đã nói là làm. Nhưng người Mỹ lại sợ người Nhật vì người Nhật làm trước nói sau. Người Nhật lại sợ Trung Quốc vì Trung Quốc ko nói mà làm. Người Trung Quốc lại sợ ai??? Xin thưa Trung Quốc sợ nhất Việt Nam vì Việt Nam nói 1 đằng làm 1 nẻo... hôm qua bảo thứ trưởng bộ công thương nói không tăng giá xăng hôm nay đùng một cái tăng 30% ...

---------------------------

Tại sao thể thao Việt Nam lại kém thành tích? Bởi vì thế giới không bao giờ tổ chức những môn thế mạnh của Việt Nam như: Cưỡi ngựa xem hoa, Qua cầu rút ván, Đè đầu cưỡi cổ, ném đá giấu tay, Ăn cháo đá bát, Thọc gậy bánh xe, Gắp lửa bỏ tay người , Ngậm máu phun người, Thừa gió bẻ măng, Thừa nước đục thả câu, Tát nước theo mưa, Theo đóm ăn tàn, Theo voi
ăn bã mía, Bắt cá hai tay, Lên voi xuống chó...

------------------------

Cám ơn Đảng, cám ơn Chính phủ đã hết lòng vì dân. Tăng giá xăng góp phần đưa nhân dân về thời kì xe đạp, luyện tập thể thao, nâng cao sức khỏe mới là quan trọng...Tôi lại đạp xe đèo em đến lớp. Xích lô đi về trong lễ đón dâu. Chị tôi chạy bộ ra siêu thị mua rau. Và công an nghỉ hưu vì ko ai vượt đèn đỏ. Mũ bảo hiểm bỗng nhiên vứt xó. Chó chạy tung tăng trên phố với ông già. Mẹ tôi rồ xe đạp điện ra ga. Cu hàng xóm trượt patanh di mua rượu. Ôi cuộc sống thời tiết kiệm nhiên liệu. Mới bình dị và thơ mộng

biết bao

--------------------------------------------------

Người dân tộc thường có câu chửi 'Ngu như người kinh' Một hôm có 2 thằng dân tộc xuống phố, đi đến đâu đếm bóng đèn đến đấy.Rồi bọn họ gặp ông tổ trưởng dân phố, ổng nói: -Chúng mày đang nhìn gì thế? -Chúng tôi đang đếm bóng đèn -Đếm bóng đèn phải mất tiền đó, 2 nghìn một bóng, thế chúng mày đếm được bao nhiều bóng rồi? -18 bóng -18x2=36 nghìn đưa tiền đây Đưa tiền xong hai thằng dân tộc vừa đi vừa nói với nhau: -Đúng là ngu như người kinh, tao đếm 20 bóng mà bảo 18 bóng nó cũng tin
---------------------------------------------
bộ giáo dục đã ra tay đàn áp học sinh = cách đi học sớm ( nghỉ hè đc. 2 tháng) , vì vậy hỡi đồng bào hs hãy đứng lên làm cuộc cách mạng , với khẩu hiệu : đả đảo bóc lột chất xám , đập phá ...dụng cụ học tập , treo cổ hiệu trưởng , đòi ngày học 1 tiếng , chơi game 12 tiếng ,,,,,,,, hoặc với hình thức khác như : cúp tiết có lãnh đạo , bẻ gãy phấn viết , bỏ mắt mèo vào ghế giáo viên , ngủ tập thể v..v.....
----------------------------

Xem thêm: http://www.hihihehe.com/f/threads/165822-Viet-Nam-Vo-Doi-cuc-zui-#ixzz1ZRQzeJPm

Những kĩ năng về rèn luyện học tập

Trang

1 thg 10, 2011

Các bất đẳng thức hay 2

Bất đẳng thức cộng Chebyshev

Chứng minh

Tham khảo

Bất đẳng thức Holder

Các trường hợp đặc biệt đáng chú ý

Trường hợp tổng quát

See also

Không có nhận xét nào: